Una de las frases más icónicas de la historia de la ciencia es el «¡Eureka!» que Arquímedes gritaba por las calles de Siracusa tras darse un baño y descubrir el misterio de la corona del rey Hierón. La mente en construcción de un joven Galileo aportó luz sobre ese momento que tiene más trabajo intelectual por parte del siracusano que el propio relato nudista.
Galileo cita a Arquímedes unas cien veces a lo largo de todos sus trabajos. Y usa expresiones que alaban las profundas contribuciones a la ciencia del sabio de Siracusa: superhumanus Arquímedes, inimitabilis Arquímedes o divinissimus Arquímedes. Lo llama maestro y mencionarlo era como citar a Einstein en nuestra época. Habla de su contemporáneo, el matemático italiano Luca Valerio (1553-1618) como el segundo Arquímedes o «el nuevo Arquímedes de nuestra época». Hoy diríamos «Valerio es el nuevo Einstein».
Como no puede ser de otra manera, Arquímedes es ampliamente citado en la obra galileana Discorso intorno alle cose che stanno in su l’acqua o che in quella si muovono (Discurso sobre las cosas que hay en el agua o se mueven en ella). Por otra parte, un Galileo ya maduro defiende en su famosa carta a Cristina de Lorena, gran duquesa de Toscana, el movimiento de la Tierra: «Lo mismo fue creído por Aristarco de Samos, como encontramos en Arquímedes». También hace acto de presencia en varias ocasiones en Diálogos sobre los dos máximos sistemas del mundo.
Dice la leyenda que Arquímedes dijo «denme un punto de apoyo y moveré el mundo»
El Arquímedes de su juventud
Los primeros acercamientos de Galileo a Arquímedes vienen de su juventud. Con menos de 20 años se acerca a las matemáticas de los grandes clásicos, abandonando así un futuro trabajo como médico tan ansiado por su padre, Vicenzo Galilei. Para un estudiante o un investigador es muy común escribir comentarios en los márgenes de los libros. Galileo no iba a ser menos.
Se conocen los comentarios por parte de un Galileo joven al libro De la esfera y el cilindro de Arquímedes, gracias a una carta póstuma de Roma Vicenzio Santini a Vicenzio Viviani, fechada el 27 de septiembre de 1671. En la carta, Santini transcribe todas las apostillas de Galileo y muestra un aspirante a científico que tenía mucho por decir en su futuro.
En 1586, con solo 22 años, Galileo escribía La bilancetta, su primera obra que sería publicada a título póstumo. Trataba el asunto de Arquímedes y la corona del rey Hierón II, del que vamos a hablar en seguida.
Ilustración coloreada del siglo XVI en la que se ve a Arquímedes introduciéndose en la bañera, con la corona de Hierón II en el suelo.
La corona del rey Hierón II
Recordemos el contexto de la historia de la corona, por si algún lector anda despistado, quisiera recordarlo o, simplemente, no lo conociese.
El tirano de Siracusa Hierón II decidió honrar a los dioses por sus victorias militares con el encargo a un orfebre de una corona de oro macizo. Tras llegar la corona a las manos del rey Hierón corrieron rumores que ponían en duda su autenticidad. A sus oídos había llegado que el orfebre no había usado todo el oro que le dio para repujar la corona. Es decir, intercambiaría parte del oro con plata para quedarse, de este modo, el oro restante.
El rey Hierón no iba a dejar el caso sin resolver, así que llamó a su sobrino Arquímedes para que resolviese el misterio. La historia aparece relatada por primera vez por Marco Vitruvio, en su libro De Architectura Libri Decem. En el libro IX podemos leer:
Eugenio M. Fernández Aguilar
«Arquímedes se tomó con empeño este encargo; por pura casualidad, se dirigía al baño y cuando se introdujo dentro de la bañera observó que se derramaba fuera de la bañera una cantidad de agua proporcional al volumen de su cuerpo, que iba sumergiendo. Esta puntual experiencia le hizo ver la solución del problema y, sin perder tiempo, lleno de alegría, saltó fuera de la bañera, desnudo se dirigió hacia su propia casa manifestando a todo el mundo que había encontrado lo que estaba buscando; corriendo gritaba una y otra vez “eureka”, “eureka”.
Entonces, siguiendo el curso de su descubrimiento, según dicen, se hizo con dos lingotes que tenían el mismo peso que la corona: uno de oro y otro de plata. Llenó de agua una gran vasija hasta los bordes e introdujo dentro el lingote de plata, por lo que se desbordó fuera de la vasija una cantidad de agua igual al volumen del lingote que había introducido. Lo sacó de la vasija y la volvió a llenar hasta los bordes, como estaba en un principio, comprobando que la cantidad de agua derramada era un sextario. De esta manera descubrió que el peso de la plata se correspondía con una exacta cantidad de agua.
Después de esta experiencia, introdujo en la vasija llena de agua el lingote de oro; lo sacó posteriormente y volvió a llenarla hasta los bordes; observó que la cantidad de agua derramada era menor, concluyendo en qué exacta proporción el volumen del oro era menor que el de la plata, aunque pesaran lo mismo los dos lingotes.
Finalmente, de nuevo llenó con agua la vasija, introdujo en su interior la corona y descubrió que se había desbordado más agua que al introducir el lingote de oro del mismo peso; partiendo de este hecho —se había derramado más agua al introducir la corona que el lingote— y haciendo cálculos, descubrió que la corona contenía una aleación de plata y de oro; así puso en evidencia el fraude cometido por el orfebre».
Este texto lo escribía Vitruvio unos doscientos años tras la muerte de Arquímedes, mientras que Galileo daría otra interpretación diferente a la manera de operar, suponiendo que existió la corona del rey Hierón y la problemática en torno a ella.
Arquímedes, del español José de Ribera (1630)
Galileo y la corona de Arquímedes
Nada menos que dieciséis siglos después de que Vitruvio escribiese su texto sobre la hazaña de Arquímedes, Galileo elaboraba el mencionado ensayo, La bilancetta (1586). En su estudio llegó a la conclusión de que la interpretación del arquitecto romano no era correcta. No hace referencia directa al texto de Vitruvio, aunque se evidencia que se trata de esta referencia por la forma en la que le ha llegado el relato. Y considera una forma de resolver el problema «muy grosera y falta de exquisitez».
Pero Galileo, igual que Vitruvio, era un gran admirador de Arquímedes, como bien se extrae de su ensayo: «Todos los demás ingenios son inferiores al de Arquímedes y […] poca esperanza puede quedar a cualquiera de poder descubrir alguna vez cosas semejantes».
Por tanto, lo que critica Galileo no es el procedimiento de Arquímedes, sino el procedimiento que defiende Vitruvio. Vamos a ver, en primer lugar, por qué Galileo mostraba desconfianza a la forma de proceder que relata el arquitecto.
Arquímedes investigando cómo medir el volumen y cómo flotan los objetos
Las cuentas de Vitruvio
Para ser generosos con los cálculos, tomaremos como referencia la guirnalda de oro más grande que se conserva de aproximadamente la época de Arquímedes; se trata de la guirnalda de Vergina, la cual data en torno al siglo IV a. C. La corona tiene una masa de 714 g y un diámetro de 18,5 cm. Teniendo en cuenta que ha perdido varias de sus hojas, y para facilitar la lectura, supongamos una masa de 1000 g para ser aún más generosos en los resultados finales. Por tanto, para realizar la prueba, tenemos 1000 g de plata, 1000 g de oro y 1000 g de una corona cuyo material se pretende poner a prueba.
Al introducir los 1000 g de plata en agua, puesto que la densidad de la plata es 10,5 g/cm³, el volumen desplazado de agua será 95,2 cm³. Si ahora introducimos los 1000 g de oro en agua, puesto que la densidad del oro es 19,3 g/cm³, el volumen desplazado de agua será 51,8 cm³.
Es suficiente con entender que el volumen de agua desalojado por los 1000 g de plata es mayor que el desalojado por los 1000 g de oro, puesto que la densidad de la plata es menor y se necesita más espacio para contener la misma masa. El concepto de densidad, pero con el nombre de masa específica, fue introducido por Arquímedes y usado por Galileo en este contexto.
El paso siguiente, según Vitruvio, es introducir ahora la corona en agua y medir la cantidad de agua desalojada. Sobre este dato tenemos que especular: supondremos que el oro de la corona fue sustituido por plata en un 30 %. Al introducir la corona en agua se observa que se desaloja más cantidad que en el caso del oro y menos que en el caso de la plata. El volumen de la corona será, según la suposición, un 30 % el volumen de los 1000 g de plata más un 70 % el volumen de los 1000 g de oro. Nos saldrían 64,8 cm³. El volumen desplazado por la corona (64,8 cm³) es mayor que el desplazado por el oro (51,8 cm³), lo cual demostraría el fraude del joyero.
Pero ¿cómo medir estos volúmenes tan pequeños? Nótese que la diferencia es de 13 cm³, aproximadamente el volumen de un par de garbanzos. Si imaginamos un barreño en forma de cilindro de 20 cm de radio, la altura que ganaría en el caso del oro sería de 1,7 mm y en el caso de la fraudulenta corona sería de 2,1 mm. ¡Una diferencia de 0, 4 mm!
Galileo no dudó realmente de la pericia de Arquímedes en medir esta altura de agua, pues conocía medios precisos para su época. Pero planteó un método más viable según el universo matemático del sabio de Siracusa.
Representación del principio de Arquímedes para comprobar la autenticidad de la corona empleando el principio de la palanca
El método de Arquímedes
En toda su obra escrita, Arquímedes hace alusión al método, que no es más que un procedimiento basado en las leyes de la palanca. ¿Por qué no lo iba a usar en el asunto de la corona de oro?
En efecto, veamos una propuesta que se repite en los ensayos de muchos expertos. Como han mostrado los cálculos anteriores, los 1000 g de oro puro y los 1000 g de la corona desalojan volúmenes de agua distintos; por consiguiente, desalojan distintas masas de agua. En concreto, 51,8 g en el caso del oro puro y 64,8 g en el caso de la corona.
¿Podía Arquímedes medir una diferencia de 13 g de agua?
Sí, podía, pero mediante el uso de una balanza de brazos iguales. Galileo escribió: «Me parece que el método que este gran hombre debió seguir en este descubrimiento ha permanecido hasta ahora desconocido».
La idea sería la siguiente: si colocamos a ambos lados de una balanza de brazos iguales el lingote de 1000 g de oro y la corona de 1000 g, dicha balanza estará equilibrada debido a la equivalencia de las masas, pero si ambos objetos se introducen en agua, la balanza se desequilibra debido a que las masas aparentes no son iguales.
¿Por qué? Porque según el principio de la hidrostática el empuje sufrido por el cuerpo será igual al peso de agua desalojada, que será distinta en cada uno de los casos. Es decir, el peso aparente del objeto de mayor volumen (corona) será inferior que el peso aparente del objeto de menor volumen (lingote de oro); por tanto, la balanza estará inclinada hacia el lingote de oro.
Orfebre cazado.
